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第1篇：高一數學函數的單調性范文

[關鍵詞]指數；冪；對數；大小比較

指數函數的概念：一般地，函數指數y =ax（a>0，且a≠1）叫做指數函數，其中x是自變量，函數的定義域是R。y是因變量，函數的值域為（0，+∞）.注意：⒈指數函數對外形要求嚴格，前系數要為1，否則不能為指數函數。⒉指數函數的定義僅是形式定義。3.當a>1時，底數越大，圖像上升的越快，在y軸的右側，圖像越靠近y軸；當01時，圖像在R上是增函數；當0

比較指數的大小的方法主要有：（1）當底數相同時，則利用指數函數的單調性進行比較；（2）當底數中含有字母時要注意分類討論；（3）當底數不同，指數也不同時，則需要引入中間量進行比較；（4）對多個數進行比較，可用0或1作為中間量進行比較（5）采用平移法，在指數上加上一個數，圖像會向左平移；減去一個數，圖像會向右平移。 在f（x）后加上一個數，圖像會向上平移；減去一個數，圖像會向下平移。（6）采用數形結合的方法去比較。

比較數的大小在高一數學學習中占據著重要地位，尤其在學習了指數函數和對數函數之后冪與冪的比較，對數與對數的比較后更加突顯。因此尋找一種比較方法迫在眉睫，由特殊到一般的思想，尋找這兩類數的比較，冪的比較可以分為三大類：一為底數相同，指數不同；二為底數不同，指數相同；三為底數和指數都不相同。通常是指數和底數都限定在 到 之間的實數，針對第一類問題，我們可以根據指數函數的單調性比較兩個冪值的大小，當底數大于1時，指數越大，值越大。當底數大于0小于1時，指數越大，值越小。對于第二類問題，可以引入中間橋梁“1”或是從圖像中觀察并得出結果。第三類問題的解決需要選擇適當的中間變量來進行比較，如 0.80.6與 0.60.8，需要尋找0.60.8 或是 0.80.6來作為中間量來進行比較。

本文主要討論第二類問題，通過對冪的探究，得出了“冪的左異右同”，既不借助橋梁，又不借助函數圖像，直接得出判斷結果。左異是當指數取值為 軸左邊的實數，即 ，當底數越大時，冪值反而小。當底數越小時，冪值反而越大。左異因此而得名，右同是當指數取值為 軸右邊的實數，即 。當底數越大時，冪值越大。當底數越小時，冪值越小。右同因此而得名。這里的這里的左右分界線是y軸。

例如：比較 0.5-0.3與0.4-0.3 的大小。先畫圖像如下：

由圖像可知 ，0.5-0.3 0.4-0.3 ，由于-0.30，a≠1）的反函數稱為對數函數，并記為y=logax（a>0，a≠1）.，因為指數函數y=ax的定義域為（-∞，+∞），值域為（0，+∞），所以對數函數y=logax的定義域為（0，+∞），值域為（-∞，+∞）. 設y1=logax y2=logbx其中a>1，b>1（或01時“底大圖低”即若a>b則y1>y2（2）當0y2。比較對數大小的常用方法有：（1）若底數為同一常數，則可由對數函數的單調性直接進行判斷.（2）若底數為同一字母，則按對數函數的單調性對底數進行分類討論.（3）若底數不同、真數相同，則可用換底公式化為同底再進行比較.（4）若底數、真數都不相同，則常借助1、0、-1等中間量進行比較。 同樣地，對于對數與對數的比較，同樣可以分為三類：一為對數的底數相同，真數不同；二為對數的底數不同，真數相同；三為對數的底數和真數都不同。對于第一類問題，當a >1時，對數函數y=logax（x>0） 隨著 x的增大而增大，當x

從圖像可知，log0.5 0.6 > log0.3 0.6， log0.5 6 log0.3 0.6。log0.5 6 與log0.3 6 的真數都是6，因為 6>1，所以是右異，底數越大，則對數值反而小.因為0.3 0，a≠1，b≠1）試比較ax 與bx 的大小。

解：對ax 與bx分別取自然對數可得xln a 和 xln b

xln a - xln b=x（xln a -xln b） = xlnbA

a>b>0， ab>1 則ln ab>0

當 X≧0時，有 xlnbA ≧0，則 ax ≧bx

第2篇：高一數學函數的單調性范文

摘 要： 抽象函數集函數的定義域、值域、解析式、單調性、奇偶性、對稱性、周期性和圖像等性質于一身，題型豐富多樣，方法靈活巧妙，是高考的常客.學生在解決這類問題時，往往會感覺無從下手，思路受阻，尤其是高一新生，答題正確率很低.作者就抽象函數這類問題，根據高一學生的學習情況和學習特點，談談對抽象函數的看法.

關鍵詞： 抽象函數 高一新生 函數性質

對于剛剛步入高中的新生而言，在各科學習中，以數學學習為最難，而數學中又以函數為最難，而函數中又以抽象函數最為難.學生普遍感覺抽象函數實在是太“抽象”了，無法捕捉住它的性質和特點規律，解題是往往會感覺無從下手，障礙重重.本文將從七個方面對抽象函數進行分析，概括高一階段對?？嫉某橄蠛瘮档囊恍┗拘再|和基本題型.

一、定義域

解決抽象函數的定義域問題，一定要明確定義域的含義，通常采用等價轉換的方法予以解決.

例1：若函數f（x）的定義域為（0，1），則函數f（x+1）的定義域為？搖？搖？搖 ？搖？搖？搖？搖.

分析：因為f（x）的定義域為（0，1），所以x+1整體的范圍也為（0，1），從而x∈（-1，0），所以函數f（x++1）的定義域為（-1，0）.

例2：若函數f（x+1）的定義域為（0，1），則函數f（x）的定義域為？搖？搖？搖？搖 ？搖？搖？搖.

分析：因為f（x+1）的定義域為（0，1），所以x+1整體的范圍也為（1，2），所以函數f（x）的定義域為（1，2）.

二、值域

解決抽象函數的值域問題，通常抓住函數的定義域和對應法則，進而確定值域，有時也可借助圖像的平行移動進行分析.

例3：若函數f（x）的值域為（0，1），則函數f（x+1）的值域為？搖？搖？搖 ？搖？搖？搖？搖.

分析：（法1）因為函數f（x）的x與函數f（x+1）的x+1的范圍是一樣的，且對應法則也相同，所以函數f（x+1）的值域也是（0，1）.

（法2）將f（x）的函數圖像水平向左移動1個單位，會得到函數f（x+1）的圖像，因此函數的值域相同.

三、解析式

觀察條件中變量的形式，尋找關聯性，采用賦值等形式建立方程組，從而解出解析式.

例4：若函數f（x）滿足：f（x）+2f（■）=x，則函數f（x）的解析式為？搖？搖？搖？搖？搖 ？搖？搖.

分析：在f（x）+2f（■）=x中，以■代替x，得到f（■）+2f（x）=■，建立方程組

f（x）+2f（■）=xf（■）+2f（x）=■，解得f（x）=■-■.

四、利用某些函數為背景，類比遷移

某些抽象函數可以尋找出相應的初等函數作為背景，從而起到啟發思維的作用，進而成功地解決函數的單調性、奇偶性等性質.

冪函數：f（xy）=f（x）f（y） 正比例函數：f（x+y）=f（x）+f（y）

指數函數：f（x+y）=f（x）+f（y） 對數函數：f（xy）=f（x）+f（y）

例5：若函數f（x）滿足以下條件：①當x>0時，f（x）>0；②對任意的x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，試判斷函數f（x）的單調性.

分析：（這類抽象函數，可以用正比例函數為背景，如f（x）=x，啟發思維.）

任取x■，x■∈R，且x■

因為x■-x■>0，所以f（x■-x■）>0，故-f（x■-x■）

五、對稱性、周期性

1.對稱性重要結論

（1）y=f（-x）與y=f（x）的圖像關于y軸對稱；

（2）y=-f（x）與y=f（x）的圖像關于x軸對稱；

（3）y=-f（-x）與y=f（x）的圖像關于原點對稱；

（4）若f（m+x）=f（m-x）恒成立，則y=f（x）的圖像關于直線x=m對稱；

（5）若f（a+x）=f（b-x），對任意x∈R恒成立，則y=f（x）的圖像關于x=■對稱.

2.周期性重要結論

（1）對于非零常數A，若函數y=f（x）滿足f（x+A）=-f（x），則函數y=f（x）必有一個周期為2A；

（2）對于非零常數A，函數y=f（x）滿足f（x+A）=±■，則函數y=f（x）的一個周期為2A；

（3）函數y=f（x）有兩根對稱軸x=a，x=b時，那么該函數必是周期函數，T=2|a-b|.

高一數學教材知識量比起初中明顯增加，理論性明顯增強，尤其是抽象函數內容，對理解要求很高，不動一番腦子，就難以掌握知識間的內在聯系和區別.所以，對于高一新生而言，在學習這一塊內容時，一定要多學多練多想多問，這樣，才能更好地掌握抽象函數的常見性質及基本解題思路和方法.

參考文獻：

[1]蔡親鵬.數學教育學.浙江：浙江大學出版社，2008.10.01.

第3篇：高一數學函數的單調性范文

一、應用遞推公式引出隱含條件

在學習函數的奇偶性與周期性這一章節時,有時會涉及到題目的條件比較隱蔽,直接應用,往往不能一步到位。因此,必須采取相應地變化手段來揭示題中的隱含條件。

例1.已知函數f(x)是定義在R上的奇函數,且滿足f(x-2)=-f(x),在[0,1]上的解析式為f(x)=■,求f(5π)的值。

分析:因為函數f(x)在[0,1]上有解析式,x=5π不在函數的定義區間上,因此無法代入求值,而這奇函數的性質看上去又起不到多少作用,所以我們設想變化一步由f(x-2)=-f(x)的整體圖象向左平移2個單位就可以得到這樣的一個等量關系f(x)=-f(x+2),所以就有等式f(x-2)=f(x+2)得到函數的周期性。從而可以解決問題。

解:由已知條件f(x-2)=-f(x)知,用 x+2去替換x,得f(x)=-f(x+2),因此得到 f(x-2)=f(x+2)。所以函數f(x)的周期為T=4。

因此f(5π)=f(5π-16),又5π-16∈[-1,0]是在[0,1]的對稱區間上,又因為f(x)在R上是奇函數,所以,f(5π-16)=-f(6-5π),而5π-16∈[-1,0],因此16-5π∈[0,1]。

所以f(5π)=f(5π-16)=-f(16-5π)=-■=■。

本題通過式子的遞推變換,導出等式 f(x-2)=f(x+2),從而得出函數的隱含條件周期性,即周期為4。從而結合函數的奇偶性把f(5π)轉化為f(6-5π)使得函數在有解析式的范圍內求解。

二、應用特殊值法尋求隱含條件

仍然在函數的奇偶性這一章節中,所給出的條件看上去與例1非常相似但在解題過程中,發現情況定全不同,請看下例。

例2.已知函數f(x)是定義在R上的奇函數,且滿足f(x+2)=f(x)+f(2),f(1)=■,求f(5)的值。

分析:由已知條件可以得到f(5)=f(3)+f(2)=f(1)+2f(2),這里f(1)已知,而f(2)未知,也沒有明顯的等量關系。而題中奇函數這一條件又好像是多余的條件,如何我們重新審視等量關系式,變式可得f(2)=f(x+2)-f(x)。給x賦予特殊值,從而就能通過奇函數的性質解決問題。

解:因為f(x+2)=f(x)+f(2),所以f(5)=f(3)+f(2)=f(1)+2f(2),

又令x=-1時,f(2-1)=f(-1)+f(2),f(2)=f(1)-f(-1),根據f(x)是奇函數,

所以f(-1)=-f(1),從而得到f(2)=2f(1)=2×■=1。

因此,f(5)=f(1)+2f(2)=■+2×1=■

本例通過特殊值x=-1的代入,等式的一部分出現隱含條件f(1)=f(-1)+f(2)奇函數的關系,通過奇函數f(-1)=-f(1)的性質,求出關鍵值f(2),從而由f(5)=f(1)+2f(2)求出f(5)的值。

三、從已知信息中探求隱含條件

在函數性質的綜合應用中,最常見的隱含條件是函數的定義域,而學生在解題過程中往往最容易忽略的就是函數的定義域。所以在涉及到函數的性質問題時,必須強調定義域優先原則,即優先考慮函數的定義域。

例3.已知函數f(x)=loga(2-ax)是在[0,1]上的減函數,求a的取值范圍。

分析與解答:a是對數的底數,所以a>0,a≠1,設g(x)=2-ax,則g(x)在區間[0,1]上是減函數。

設u=2-ax,由于f(x)=1oga(2-ax)是區間[0,1]上的減函數,所以logau是增函數,故a>1。

還要使2-ax>0在區間[0,1]上總成立,即g(x)在區間[0,1]上總成立,由于g(x)是減函數,x=1時,g(x)有最小值。只要g(1)>0,即2-a>0,得a

所以a∈(1,2)。

本題由對數底數a的條件入手,不斷延伸與拓展,從而得出一次函數g(x)=2-ax的單調性,又從復合函數logau的單調性,進一步落實a的準確范圍,再通過函數的定義域g(x)>0,只要得出g(x)的最小值是正數時,那么對所有g(x)的值都滿足。因此,從g(1)>0找出a

在高一數學函數教學中,揭示題目中隱含條件是提高學生的數學思維能力的一個重大突破。是從初中數學過渡到高中數學的思維的躍升。

第4篇：高一數學函數的單調性范文

對高一新生來講，學習環境是全新的，新教材、新同學、新教師、新集體，學生需要有一個由陌生到熟悉的適應過程。另外，經過緊張的中考復習，考取了自己理想中的高中，必有些學生會產生“松口氣”的想法，入學后無緊迫感。也有些學生有畏懼心理，他們在入學前就耳聞高中數學很難學，高中數學課一開始也確有些難理解的抽象概念，如映射、集合等，使他們從開始就處于被動局面。

二、課時的變化

在初中，由于內容少，題型簡單，課時較充足。因此課容量小，進度慢，對重難點內容均有充足時間反復強調，對各類習題的解法，教師有足夠的時間進行舉例示范，學生也有足夠的時間進行鞏固。而到高中，由于知識點增多，靈活性加大，課時(自習輔導課)減少，課容量增大，進度加快，對重難點內容沒有更多的時間強調，對各類題型也不可能講全講細以及鞏固強化。這也使高一新生開始不適應高中學習而影響成績的提高。

三、教學內容的銜接

首先，初中數學教材內容通俗具體，多為常量，題型少且簡單；而高中數學內容抽象，多研究變量、字母，不僅注重計算，而且還注重理論分析，與初中數學相比增加了難度。其次，由于近幾年教材內容的調整，雖然初高中教材都降低了難度，但相比之下，初中降低的幅度大，而高中階段由于受高考的限制，教師都不敢降低難度，便造成了高中數學實際難度沒有降低的現實。因此，從一定意義上講，調整后的教材不僅沒有縮小初高中教材內容的難度差距，反而加大了。此外相對初中數學所富有“生活趣味” 來講，高中數學則更有“數學味”。高中數學第一章就是集合、簡易邏輯等知識，緊接著就是函數問題。函數單調性的證明又是一個難點，立體幾何對空間想象能力的要求又很高。教材概念多、符號多、定義嚴格，論證要求又高。初中刪減的內容都需要在高中階段補充上，因而增加了高中學生的課業負擔，這些都是升入高中后學生數學成績下降的客觀原因。

四、教學方法的銜接

初、高中教學方法上的差異也是高一新生成績下降的一個重要原因。初中數學教學中重視直觀、形象教學，每學習一道例題，都要進行相應的練習，學生板演的機會較多。

一些重點題目學生可以反復練習，強化學習效果。而高中數學教學則更強調數學思想和方法，注重舉一反三，在嚴格的論證和推理上下工夫。高中數學的課堂教學往往采用粗線條模式，為學生構建一定的知識框架，講授一些典型 例題，以落實“三基”培養能力。 剛進入高中的學生不容易適應這種教學方法．聽課時存在思維障礙，難以適應快速的教學推進速度，從而產生學習障礙，影響學習成績。因此，新高一數學教學中應注意加強基本概念、基礎知識的講授，盡量以形象、直觀的方式講解抽象的數學慨念。 中國論比如講映射時可舉“某班5O名學生安排到50張單人課桌的分配方法” 等直觀例子，為引入映射概念創造階梯。由于初中學生尚未形成嚴格的論證能力，所以在高一證明函數單調性時可進行系列訓練，讓學生進行板演，從而及時發現問題，解決問題。又比如在《拋物線及其標準方程 的教學中，可以從學生初中所學過的“二次函數的圖像是拋物線”入手，利用學生的已有的知識存量，引導學生找到聯系與區別，這樣便于學生對新知識的理解。 通過上述方法，能夠降低教材難度，增強學生的學習信心，讓學生逐步適應高中數學的正常教學。

五、學習方法的銜接

第5篇：高一數學函數的單調性范文

關鍵詞：初中數學教學；高中數學教學；銜接；教師

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）06-0078

升入高中，往往有很多學生不能適應數學學習，對數學懷有恐懼感。高一階段反映高中數學難學、學起來吃力的學生不在少數；學得似懂非懂、不能消化的學生大有人在；在小學、初中階段數學成績優異，進入高中后成績不理想的學生，也不乏其數。以前游刃有余、引以為豪的數學，一下子變成了攔路老虎，形成較大落差。課堂上跟不上教師的進度，課后達不到自己的期望，種種的不適應嚴重打擊了學生對數學學習的自信心和積極性。如不及時加以引導，會造成學生學習成績的整體滑坡，甚至影響學生的一生。因此，高一數學教師應特別關注初、高中數學教學的銜接。

高中數學相對于初中數學而言，有著顯著的變化。一是數學語言在抽象程度上突變。初中數學主要是以形象、通俗的語言方式進行表達。而高一數學一下子就觸及非常抽象的集合語言、邏輯運算語言、函數語言、圖像語言等。二是思維方法向理性層次躍遷。高一學生產生數學學習障礙的另一個原因是高中數學思維方法與初中階段大不相同。初中階段很多教師將各種題建立了統一的思維模式，如解分式方程分幾步，因式分解先看什么，再看什么等。因此，初中學習中習慣于這種機械的、便于操作的定勢方式，而高中數學在思維形式上產生了很大的變化，數學語言抽象化對思維能力提出了高要求。這種能力要求的突變使很多高一新生感到不適應，故而導致成績下降。三是知識內容的整體數量劇增。高中數學與初中數學相比，知識內容的“量”急劇增加了，單位時間內接受知識信息的量與初中相比增加了許多，輔助練習、消化的課時相應減少了。四是知識的獨立性更強。初中知識的系統性是較嚴謹的，給我們的學習帶來了很大的方便。因為它便于記憶，又適合于知識的提取和使用。但高中的數學卻不同了，它是由幾塊相對獨立的知識拼合而成（如高一有集合、命題、不等式、函數的性質、指數和對數函數、指數和對數方程、三角比、三角函數、數列等），經常是一個知識點剛學得有點入門，馬上又有新的知識出現。因此，注意它們內部的小系統和各系統之間的聯系成了學習時必須花力氣的著力點。

針對高中數學的學科特點和高一學生的思維特點，筆者就如何幫助學生完成初、高中數學銜接這一問題，結合自己的教學實踐進行了一些摸索和總結。以下提出幾點粗淺的認識，僅供大家參考。

一、抓“重點”

所謂抓“重點”，就是對每一知識點都要突出它的重點，甚至提煉精髓，幫助學生更好、更深刻地理解和掌握。隨著新課程改革的不斷推進，數學教材發生了很大的變化，高中數學新課程恰當精簡了傳統課程的內容，更新了知識和教學方法，強調靈活性和綜合性，重視數學應用。但是我們不能否認，初高中教材的銜接不是非常緊密。以前初中教材中十分重要的數學知識，如因式分解、代數公式、一元二次方程、指數和對數運算法則、二次函數、十字相乘法、配方法、待定系數法等在現行的初中教材中已經淡化。而像三角形的全等和相似在高中有所淡化?？墒?，在高一教材中必須用到這些知識，并且對學生的要求很高，這就形成了一個知識上的落差。與初中數學相比，高中數學對概念、定義、定理、公式、公理的理解與運用的要求更高，所以教師應該在教授新知時提煉知識精髓，強調難點與易錯點。如在學習函數單調性時，可從三種語言的角度來讓學生體會單調性的重點，自然語言“隨著自變量x的增加因變量y也增加”，圖形語言“從左向右圖像逐漸上升”，數學語言“當時，若f（x1） < f（x2）”，則函數是增函數。再如必修二中的線線平行、線面平行、面面平行的證明，可提煉三者的關系，并強調關鍵在找平行，而現有的找平行的方法只限于三角形中位線、平行四邊形、對應邊成比例等，這樣就可使學生降低恐懼感，過好“入門關”。如能先對知識點有一個整體把握，就能在一定程度上降低學生學習高一數學的臺階。

二、巧“引導”

高中數學教材采用蘊含披露的方式將數學思想融于數學知識體系中，因此，適時對數學思想作出歸納、概括是十分必要的。概括數學思想一般可分為兩步進行：一是揭示數學思想內容規律，即將數學對象具有的屬性或關系抽取出來，二是明確數學思想方法知識的聯系，抽取解決全體的框架。但這對高一新生來講確實困難較大。因此，在教學中，應從高一學生實際出發，采取“低起點、小梯度、巧引導、多訓練”的方法，將教學目標分解成若干遞進層次逐層落實。在速度上，放慢起始進度，逐步加快教學節奏。在知識導入上，多由實例和已知引入。在難點知識講解上，從學生理解和掌握的實際出發，對教材作必要層次處理和知識鋪墊，并對知識的理解要點和應用注意點作必要總結及舉例說明，簡要概括。如學習必修Ⅱ公理三時，可把書本上的抽象概念，用具體模型概括為“公共點在公共棱上”，這樣便于學生在證明點共線問題和線共點問題上尋找恰當的兩個平面。又如，在學習線面平行的判定定理時，可使教學設計多樣化，讓學生既有感官上的認識，又有動手實踐的體會，還有理論上的概括，三位一體引導學生理解基本模型。這樣可使學生對知識點從懂的層次進入會的層次。除了在教法上注重引導，還應加強學法的引導。高中數學教學要把對學生加強學法引導作為教學的重要任務之一。以培養學習能力為重點，狠抓學習基本環節，指導學生“怎樣預習”“怎樣聽課”“怎樣處理習題”等。

三、重“主體”

在教學過程中，教師是主導，學生才是主體。教師一定要注意一切從學生實際出發，千萬不能越俎代庖、先入為主。中國古代教育家孔子曾說：“不憤不啟，不悱不發。舉一隅不以三隅反，則不復也?！币馑际钦f，一個人不到他傾全力去嘗試了解事理，但卻仍然想不透的程度，我是不會去啟示他的。不到他盡全力想要表達其內心的想法，卻想不到合適言詞的程度，我是不會去開導他的。如果學生不能舉一反三、觸類旁通，教師再怎么教也是無濟于事的。匈牙利數學家波利亞曾說：“教師講了什么并非不重要，但更重要千萬倍的是學生想了些什么，學生的思路應該在學生自己的頭腦中產生，教師的作用在于系統地給學生發現事物的機會”。波利亞認為教師在學生的課堂學習中，僅僅是“助產士”，他的主導作用在于引導學生自己去發現盡可能多的東西；引導學生積極地參與提出問題、解決問題。他認為科學的提出問題需要更多的洞察力和創造性，而學生一旦提出了問題，那么他們解決問題的注意力更集中，主動性會更強烈。因此，教師的教學應立足于學生的主動學習。

在以學生為主體的教學中還應注意，課堂回答問題活躍不等于思維活躍，不等于教學設計合理，還要看是否存在為活動而活動的傾向，是否適用于所有學生等問題。教師必須圍繞教學目的進行教學設計，根據學生已有的知識水平精心設計，啟發學生積極有效的思維，從而保持課堂張力。設法由學生自己提出問題，然后再將學生的思考引向深入。學生只有經過思考，教學內容才能真正進入他們的頭腦，否則容易造成學生對教師的依賴，不利于培養學生獨立思考的能力和新方法的形成。有時，我們在上課、評卷、答疑解難時，自以為講清楚明白了，學生受到了一定的啟發，但思考后發現，自己的講解并沒有很好地針對學生原有的知識水平，從根本上解決學生存在的問題，只是一味地想要他們按照某個固定的程序去解決某一類問題，學生當時也許明白了，但并沒有理解問題本質性的東西。還有，教師在激發學生學習熱情時，也應妥善地加以管理，使課堂教學秩序有利于教師“教”和學生的“學”，要引導學生學會傾聽，并加強學生合理表達自己觀點的訓練。

四、善“反思”

某一項教學內容完成后，教師要及時進行教學反思。要根據學生反饋的信息，思考“出現這樣的問題，如何調整教學計劃，采取怎樣有效的策略與措施，需要在哪方面進行補充”，從而順著學生的思路組織教學，確保教學過程沿著最佳的軌道運行，這種思考能使教學高質高效地進行。

第6篇：高一數學函數的單調性范文

一、導致高中數學學習存在障礙的原因

1、初中與高中知識不能有效鏈接。初中教材偏重于實數集內的運算,缺少對概念的嚴格定義或對概念的定義不全,如函數的定義,三角函數的定義就是如此;對不少數學定理沒有嚴格論證,或用公理形式給出而回避了證明,比如不等式的許多性質就是這樣處理的;教材坡度較緩,直觀性強,對每一個概念都配備了足夠的例題和習題。而高一教材第一章就是集合、映射等近世代數知識,緊接著就是函數的分類問題。函數單調性的證明又是一個難點。教材概念多、符號多、定義嚴格,論證要求又高,高一新生學起來相當困難。此外內容也多,每節課容量遠大于初中數學。

2、初中與教師的教學方法有很大差異。初中教師重視直觀、形象教學,老師每講完一道例題后,都要布置相應的練習,學生到黑板表演的機會相當多。為了提高合格率,不少初中教師把題型分類,讓學生死記解題方法和步驟。在初三,重點題目反復做過多次,而高中教師在授課時強調數學思想和方法,注重舉一反三,在嚴格的論證和推理上下功夫。又由于高中搞小循環,教高一課程的教師剛帶完高三,他們往往用高三復習時應達到的難度來對待高一教學。因此造成初、高中教師教學方法上的巨大差距,中間又缺乏過渡過程,致使高一學生普遍適應不了高中教師的教學方法。

3、在學習方法上,初中與高中有很大不同。高一學生在初中三年已形成了固定的學習方法和學習習慣。他們上課注意聽講,盡力完成老師布置的作業,但課堂上滿足于聽,沒有做筆記的習慣,缺乏積極思維;遇到難題不是動腦子思考,而是希望老師講解整個解題過程;不會科學地安排時間,缺乏自學、看書的能力,還有些學生考上了高中后,認為可以松口氣了,放松了對自己的要求。

4、部分初中生沒有很好的掌握系統的知識結構。對比初中數學,高中數學教材結構的邏輯性、系統性更強。首先表現在教材知識的銜接上,前面所學的知識往往是后邊學習的基礎;其次還表現在掌握數學知識的技能技巧上,新的技能技巧形成都必須借助于已有的技能技巧。因此如果學生對前面所學的內容達不到規定的要求,不能及時掌握知識形成技能,就造成了連續學習過程中的薄弱環節,跟不上集體學習的進程,導致數學成績兩極分化。

5、初中與高中的數學思維方式不相同。高二階段是數學學習兩極分化最明顯的階段,一個重要原因是高中階段數學課程對學生抽象邏輯思維能力要求有明顯提高,而高二學生正處于由直觀形象思維為主向以抽象邏輯思維為主過渡的又一個關鍵期,沒有形成比較成熟的抽象邏輯思維方式,而且學生個體差異也比較大,有的抽象邏輯思維能力發展快一些,有的則慢一些,因此表現出數學學習接受能力的差異。教師沒有根據學生的實際和教學要求去組織教學活動,指導學生掌握有效的學習方法,促進學生抽象邏輯思維的發展,提高學習能力和學習適應性。

二、解決方法

1、提高教師隊伍素質,制訂相應的教學計劃。高中教師應聽初中數學課,了解初中教師的授課特點。開學初,要通過摸底測驗和開學生座談會,了解學生掌握知識的程度和學生的學習習慣。在摸清三個底(初中知識體系,初中教師授課特點,學生狀況)的前提下,根據高一教材和大綱,制訂出相當的教學計劃,確定應采取的教學方法,做到有的放矢。

2、針對學生學習特點降低難度,注重教學內容和方法的銜接。高一課時數量要增加基本概念、基礎知識的教學,教學時注意形象、直觀。由于高一學生缺乏嚴格的論證能力,所以證明函數單調性時可進行系列訓練,開始時可搞模仿性的證明。要增加學生到黑板上演練的次數,從而及時發現問題,解決問題,章節考試難度不能大,降低教材難度,提高學生的可接受性,增強學生學習信心,讓學生逐步適應高中數學的正常教學。

3、打牢學生的基礎知識,改正學生不良學習習慣。教學伊始,教師應對學習的五大環節提出具體可行要求。如:作業的規范化,獨立完成,訂正錯題等。對學生在學習上存在的弊病,應限期改正。嚴格要求貴在持之以恒,貫穿在學生學習的全過程,成為學生的習慣?？荚嚨拿芏纫黾?用以督促、檢查、鞏固所學知識。

第7篇：高一數學函數的單調性范文

【關鍵詞】高一數學 教學策略 探究教學 數學史 數形結合 學困生轉化

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）01B-0135-03

完高一的第一感覺是：學生把數學當成了“猛虎”。作為高一的數學教師收到的投訴是所有學科中最多的。學生覺得高中和初中的知識跨度大，學習難度大，老師的講課速度相對于他們的理解能力來說太快，回家哭訴的有，討厭老師的有，說要放棄的更有。那么，作為承上啟下的高一數學教學者，面對如此的情況應該注意什么呢？以下是筆者一些不太成熟的想法，供同行一起探討。

一、注重初高中數學知識點的銜接

高中數學與初中數學相比，初步分析發現有以下顯著特點：從直觀到抽象，從單一到復雜，從淺顯至深入，從定量到定性。必修1一來就是集合與函數，教材一開始就引入了大量的符號和字母，對學生的抽象、概括和數學符號的理解力有很大的要求，很多題目都涉及分類討論，對學生的邏輯和嚴謹性提出了挑戰。比如：“集合集合 ， 若 ，求 a 的取值范圍?！睂W生對此題中集合 B 是否為空集常忘了討論，對于包含關系下什么時候取等號常常搞不清楚。為了解決這樣的問題，教師要不停地變化條件讓學生來做題和體會，才能慢慢地讓學生掌握此類內容。因此，教授集合時要從一開始就耐心細致地引導，放低臺階，放慢腳步，讓學生習慣數學符號的表達和書寫，養成用數學符號代替自然語言的描述習慣，并學會將抽象的符號和直觀的圖形相結合進行理解和學習。

高一開始時，在適當放慢進度，降低難度的同時，在新課的引入中，要盡量從初中的角度切入，注意新舊對比，前后聯系。比如，函數的引入可以從初中熟悉的一次函數 y=x，二次函數 y=x2，反比例函數 著手。這要求教師必須熟悉初中數學教材和課程標準對初中數學概念和知識的要求，把高中教材研究的問題與初中教材研究的問題在文字表述、研究方法、思維特點等方面進行對比，明確新舊知識之間的聯系與差異，然后在講授高中數學時，在復習初中內容的基礎上引入新內容。高一數學的每一節內容都是在初中數學基礎上發展而來的，故在引入新知識、新概念時，注意舊知識的復習，用學生已熟悉的知識做鋪墊和引入。如講任意角的三角函數時，要先復習初三學過的銳角三角函數的概念，進而提出任意角的三角函數概念，從而引入坐標定義法。教師在教學過程中，幫助學生以舊知識同化新知識，使學生掌握新知識，順利達到知識的遷移，從而提高學生的學習興趣。

二、注重數學史教學

在《普通高中數學課程標準（實驗）》關于課程的基本理念中，明確指出要“體現數學的文化價值”。數學課程應適當地反映數學的歷史、應用和發展趨勢，數學對推動社會發展的作用，數學的社會需求，數學科學的思想體系，數學的美學價值，數學家的創新精神，提出設立“數學史選講”等專題。由此可見，新課標理念下把數學史作為數學文化的載體有多么重要的作用。幾乎所有學科都強調“興趣是最好的老師”，在調動學生的積極性方面，筆者發現通過講一講數學家的一些小故事帶來的效果不錯，比如，解析幾何的創始人笛卡爾，從小游手好閑，偶遇一次街頭數學問題懸賞解答，強烈的興趣使他對數學入迷，此時他已經近二十歲。數學中的經典問題也對學生有相當大的吸引力，比如，歐拉研究的七橋問題，阿基米德的分牛問題，等等，都是激發學生學習興趣的好素材。

筆者在高一第一節《集合的概念和表示方法》給學生講了集合的創始人―― 康托爾，學生感嘆他的英俊養眼同時，也記得了他的“連續統”假設（CH，Continuum Hypothesis）―― 在自然數集合與實數集合之間存在不存在一種“集合”，其元素比實數集合少一些，但是，卻又比自然數集合多一些？學生的眼球一下被吸引住了，他們會思考，無窮多的數如何比較大小呢？在講授必修1第二章《函數的概念》時，筆者給學生講了函數的由來，從萊布尼茨對“function”函數一詞的提出，到貝努利認為函數是必須有表達式，到歐拉認為圖形也可以表示為函數，再到柯西提出“自變量”一詞，完善到與課本接近的概念，最后到德國數學家狄利克雷對函數一詞本質的理解。讓學生認識函數不斷補充和發展的過程，認識這些知名的數學家，并且對課本為何在函數概念前放 3 個不同的列子作了很好的詮釋。

在高一教學中的數學史內容還有很多，筆者大概做了以下的歸類：

筆者在數學史這方面的知識儲備相對來說很少，視野也不夠開闊。筆者查了一些圖書資料，覺得有兩本書值得推薦，即李文林的《數學史概論》和美國數學家克來茵的《古今數學思想》，大家可以去看看。

三、合理選擇探究教學形式

高中階段的教學模式應該多元化，但其主要手段莫過于“啟發式”“探究式”“灌輸式”教學。對學生而言，數學上由探究學習與接受學習兩部分組成，這二者除了獲取知識的途徑不同之外，還主要存在數學學習過程的思維活躍程度上的差異。筆者用 venn 圖表示兩者間的關系如下：

這是否說明探究式教學明顯高于傳統的接受式教學呢？答案是否定的。其實很多基礎性的對學生數學思維要求不高的知識內容，采用傳統的接受式教學方式更容易使學生掌握。啟發式和探究式教學對學生的知識儲備和能力都有很高的要求，探究的數學問題在具有必要性和可行性的前提下才能實施。因此對什么知識點用什么樣的手段，老師要仔細考慮清楚，切不可將探究流于表面的形式，更多的要上升到內部的數學思維操作上，積極引導學生做出進一步的探究思考，從而努力實現向更高層次過渡。

例如，在一節關于等差數列概念及其性質的教學中，有一位好問的學生提出：“既然有等差數列，是不是應該存在等和數列？”雖然這個問題和本節教學無關，但此時卻是為學生創造探究學習的最佳時機。通過學生的探究，學生舉出了“1，2，1，2，1，…”等多個等和數列的例子，還仿照等差數列概念得出等和數列的概念，并指出了它的兩個性質：（1）等和盜幸歡ㄊ侵芷謔列；（2）等和數列也一定是等積數列。

這樣的例子在數學課堂上經常遇到，教師應該抓住這樣的“題外話”，甚至故意引導學生發現這樣的“題外話”借題發揮，從真正意義上調動學生探究欲望與積極性。蘇霍姆林斯基指出：“有許多聰明的，天賦很好的學生，只有當他的手和手指尖接觸到創造性勞動的時候，他們對知識的興趣才能覺醒起來?！?/p>

四、注重數形結合

數形結合是中學數學的重要思想方法，數學家華羅庚說過：“數缺形時少直覺，形少數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬事非?！边\用數形結合的方式解題，既可體現數量與空間圖形的辯證統一關系，又快捷簡便，直觀易懂。

例如，在集合的運算基本上，要借助數軸和 venn 圖來直觀形象地表示交、并、補的部分。

在函數的教學中，數形結合更為重要，例如 2015 年廣東高考題最后一題：

21.（本小題滿分 14 分）

設 a 為實數，函數 f（x）=（x-a）2+|x-a|-a（a-1）。

（1）若 ，求 a 的取值范圍；

（2）討論 f（x） 的單調性；

（3）當 時，討論 在區間 內的零點個數。

這完全可以用畫圖的方式解決。筆者讓所帶的高一的學生做，數學思維能力強的學生基本能拿到 10 分。學生告訴筆者，他們認為和平時做的“x2-4|x|+3=m 有四個互相不相等的實數根，求 m 的取值范圍”的方法是類似的，只是帶有變量 a 的討論而已，此類題目用畫圖方式容易解決。

像這樣的例子在高一教學中實在太多了，基本初等函數（尤其是帶參數的二次函數）、三角函數都對學生的作圖能力提出了很高的要求，在高一教學中一定要給學生灌輸這樣的思想。在作業上嚴格要求，在解題中畫圖與書寫都不能少。只有在平時經常提醒，讓學生養成習慣，這樣才能使學生在考試中靈活運用，進行變形遷移。

五、注重數學學習困難生的轉化

筆者認為教學和教育從來都是分不開的。筆者每年都會帶到一些“讓我心疼”的學生，他們乖巧聽話，上課認真做筆記，課后作業認真完成，學習也很用功，課外的輔導書也是標注得密密麻麻，但是一考起試來總是在 70 分左右，有甚者是全班的倒數第一。對這樣的孩子，筆者通過接觸發現她們把數學學不好歸結于自己不行，老師講的東西總是記不住，解決數學問題的方法不太靈活，腦子不好用，太笨了，不如別的同學聰明，不是學數學的料。這樣的孩子喜歡做一些程序化的題目，但是題目稍微發生變化就不知道如何下手，即使做對了，也常常懷疑自己做錯了。面對這樣的學生，筆者做了以下的轉化策略：

1.適時表揚，增強自信

平時分析問題時，抽查問一下他們有什么好思路，只要他們的想法有理就給予肯定和表揚，樹立他們的信心，提高他們的個人數學自我效能感。另外，在講解題目時，筆者也多方面展示自己的思路和想法，讓學生明白老師也不是立刻就有正確的解法的，當他們下次遇到一下子不能正確求解的題目時不要輕易放棄。 （下轉第162頁）

（上接第136頁）

2.鼓勵做學習方法不佳的歸因

學習成績不理想一定是方法不佳，比如，總記一些結論和解題類型，沒有對概念和解題思路理解好。多鼓勵他們與其他同學交流學習方法和學習心得，把做錯的題和不會做的題目一步步整理下來，把當時為什么不會解的各種類型的題的原因記下來，也要把之后如果再碰到這類題目應該怎么辦寫在旁邊。讓他們自己去逐漸認識到初中和高中的不同，不再是機械的模仿而是需要自己多嘗試和探索，學會獨立運用數學思想方法。

3.引導進行合理的外部歸因

其實，除了內因外，也有一些外在的因素，如家庭環境，人際關系，身體因素等。多方面對他們進行關心和引導，這樣做也取得預想不到的效果。

【參考文獻】

第8篇：高一數學函數的單調性范文

關鍵詞：數學；銜接；內容；課時；基礎；補充；復習；反饋

在推行新課程的今天，由于教材內容、教師觀念、課時、學法等原因，造成初高中教學脫節是高中教學中存在的一個嚴重問題，也是個老大難問題。特別是對意志品質薄弱和學習方法不妥的那部分學生更是使他們過早地失去學數學的興趣，甚至打擊他們的學習信心。如何讓學生逐步適應高中數學的學習，提高他們學習數學的積極性、主動性，使之能夠敢于學習、樂于學習，以至敢于思考、樂于思考，幫助學生形成良好的數學學習習慣，是擺在高一數學教師面前的首要問題。本人結合自己多年教學中所積累的經驗和在教學中所采用的方法，從教材、教法、過程、結果等方面談一談個人的體會，以期對教學有所幫助。

一、初高中數學的差異

1.教材內容

教材是學生學習的依據，在結構上，初中數學采用連貫、整體、螺旋上升的結構；高中數學則采用模塊的結構，將內容分為必修的五個基本模塊和選修部分。在內容上，初中注重基礎，講求知識的廣度；高中則注重推理、應用，講求知識的深度。同時從內容的連貫性上看：高中把“平行線等分線段定理、十字相乘法、立方和與立方差公式等”內容作了淡化處理，把它們放到了選修或者直接刪去，但習題中卻大量出現。所有的這些都說明初高中數學存在著顯著的區別，從而使學生產生許多的不適應，直接影響了今后的學習。

2.教學課時

初中階段我們用6個學期的時間學6本書，其中的內容多是重復、提升的形式出現；高中階段我們用4個學期學8本（文科7本），其中的內容基本沒有重復，難度更是初中無法比擬的。就拿高一來說吧：高一第一學期有兩本書共72學時的教學內容，這些并不包括單元測試與講解、復習等所用的時間。此外，高一學生一般報到較遲（9月4～5日左右），還有一周至十天的軍訓，再加上國慶節、元旦等正常假日。真正能用于上課的時間非常有限，也就不可能有什么補缺補差的時間，連完成正常教學任務也感到十分困難。這就注定了教師的教和學生的學不可能再照搬初中了。

3.教學方法

在學習方法及思維方式上，高初中數學的脫節并不僅僅在教材內容上，在思維方式上也產生了一個質的飛躍。如果說初中數學是一個幼童的話，那么高中數學則是一個標準的成人，這是從思維能力上說的，二者根本就不在同一級別上，且從高中一開始就沒有緩沖區的直接產生這樣一個質的飛躍，這讓絕大多學生難以接受，也讓多數學生在初中數學學習中形成的一套學習方法到高中很難奏效，大大地增加了他（她）們的困惑，也給教師的教學帶來了不小的挑戰。

二、銜接措施

1.依據學生數學基礎進行教學

這是一個動態的、貫穿始終的過程，因為學生是不斷發展的個體，不能用固定的眼光去看，否則就容易產生誤解、不信任。首先我查詢了入學成績，了解一個大概的情況；然后我讓學生進行自我評價，以消除試卷、臨場發揮等方面的影響。我還根據學生上課的反應定期找學生談話，從中了解學生的接受、消化情況，這樣能更準確地把握學生的狀態，不會出現被單純考試分數所蒙蔽的現象。

2.注意相關內容的及時復習與補充

由于初高中數學在內容上的脫節，教師在教學中應及時的對相關的內容進行及時復習與補充，只有這樣才能使學生順利的度過難關。例如在高一數學《函數》一章中，對初中數學中的一次函數、二次函數、反比例函數等內容涉及的不少。象一元二次方程根與系數的關系，二次函數的圖象與性質中，關于y值范圍（函數值域）、單調性的討論、最大（?。┲档那蠓ǖ?，有的當時不作要求，有的要求不深，現在學生感到模糊，就應當及時作適當的復習。為此，可在初中數學知識的基礎上，作適當的引申，可不作太高要求，能解決一些問題就可以了。可以跟學生明確指出，這些以后還要學的，不熟練不要緊。

3.及時比較和總結，注重學習中的信息反饋

與初中數學相比較，在解題方法上，高中數學對學生的要求更高。分情況討論、數形結合、合情推理、邏輯推理等等數學思想和方法要求都比較高。對于一個高一學生來說，這些思想方法雖不陌生，但距離熟練應用還是很有差距的。因此，在學習過程中，應當及時總結、比較現在的分析問題、解決問題的方式方法與初中有何共同點，有何不同點。從而確定應當掌握哪些，注意哪些。經常性的分析與比較，學生就會不斷調整方向，明確目標，逐漸形成一整套的正確的學習方法。

三、銜接的體會與反思

1.注意學生的學習情況的改變

知道學生在初中數學學習中，學過了什么，學到什么程度，什么沒有學，學習要求如何等等。針對與高中相關的每一部分內容，都要分析學生現有的水平，具體知識結構，高中階段所要達到的目標。要了解每一名學生，關注其數學學習中的狀態變化。從課堂教學，到課后練習、鞏固，到單元測試等。注意個別學生的特殊變化，上升快的要及時鼓勵，給予肯定；出現下降幅度大的，應及時談話，幫助學生分析原因，采取措施，不要錯失良機。這樣做能收到事半功倍的效果。

2.注意學生所用的學習方法

數學教學更應當以學生為主體，充分考慮學生的思維方式，接受能力，個人興趣、愛好等。鑒于此，應當針對不同的學生使用不同的教學方法、指導方法。這在課堂教學中不易做到，但可以利用課外輔導來處理，還要注意數學解題中通性通法的理解與掌握。一些常用方法如：歸納法、類比法、演繹法、算法或構造性方法、統計方法、迭代法、數學實驗、數學模型法、猜想、直覺、靈感或頓悟等?！凹仁翘岢鰡栴}的方法，又是解決問題的方法。”更應注意培養。

3.激發學生學習興趣

第9篇：高一數學函數的單調性范文

函數是高中數學的主線，是高中數學的核心內容，也是整個高中數學的基礎。函數的性質是高考的重點與熱點，函數的對稱性是函數的一個基本性質，對稱關系不僅廣泛存在于數學問題之中，而且利用對稱性往往能更簡捷地使問題得到解決，對稱關系還充分體現了數學之美。本文擬通過函數自身的對稱性和不同函數之間的對稱性這兩個方面來探討函數與對稱有關的性質。

一、函數的奇偶性

要研究函數的對稱性一定要先研究函數的奇偶性，因為奇函數是最典型的點對稱，偶函數是最典型的軸對稱。奇函數：f（x）+f（-x）=0或f（x）=-f（-x），關于原點（0，0）對稱；偶函數：f（x）-f（-x）=0或f（x）=f（-x）關于y軸對稱。在對稱區間上奇函數單調性相同，偶函數單調性相反。

二、函數自身的對稱性探究

定理1.函數y=f（x）的圖像關于點A（a，b）對稱的充要條件是f（x）+f（2a-x）=2b.

證明：（必要性）設點P（x，y）是y=f（x）圖像上任一點，點P（x，y）關于點A（a，b）的對稱點P′（2a-x，2b-y）也在y =f（x）圖像上， 2b-y=f（2a-x），即y+f（2a-x）=2b故f（x）+f（2a -x）=2b，必要性得證。

（充分性）設點P（x0，y0）是y=f（x）圖像上任一點，則y0 = f（x0），f （x）+f（2a-x）=2bf（x0）+f（2a-x0）=2b，即2b-y0=f（2a-x0）。

故點P′（2a-x0，2b-y0）也在y=f（x）圖像上，而點P與點P′關于點A（a，b）對稱，充分性得征。

推論：函數y=f（x）的圖像關于原點O對稱的充要條件是f（x）+f（-x）=0.

定理2. 函數y=f（x）的圖像關于直線x=a對稱的充要條件是f（a+x）=f（a-x），即f（x）=f（2a-x）.（證明留給讀者）

推論：函數y=f（x）的圖像關于y軸對稱的充要條件是f（x）=f（-x）.

定理3. ①若函數y=f（x） 圖像同時關于點A（a，c）和點B（b，c）成中心對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數，且2|a-b|是其一個周期。

②若函數y=f（x） 圖像同時關于直線x=a和直線x=b成軸對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數，且2|a-b|是其一個周期。

③若函數y=f（x）圖像既關于點A（a，c） 成中心對稱又關于直線x=b成軸對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數，且4|a-b|是其一個周期。

①②的證明留給讀者，以下給出③的證明：

函數y=f（x）圖像既關于點A（a，c） 成中心對稱，

f（x）+f（2a-x）=2c，用2b-x代x得：

f（2b-x）+f[2a-（2b-x）]=2c………………（*）

又函數y=f（x）圖像直線x=b成軸對稱，

f（2b-x）=f（x）代入（*）得：

f（x）=2c-f[2（a-b）+x]…………（**），用2（a-b）-x代x得f[2（a-b）+x]=2c-f [4（a-b）+x]代入（**）得：

f（x）=f[4（a-b）+x]，故y=f（x）是周期函數，且4|a-b|是其一個周期。

三、不同函數對稱性的探究

定理4. 函數y=f（x）與y=2b-f（2a-x）的圖像關于點A（a，b）成中心對稱。

定理5. ①函數y=f（x）與y=f（2a-x）的圖像關于直線x=a成軸對稱。

②函數y=f（x）與a-x=f（a-y）的圖像關于直線x+y=a成軸對稱。

③函數y=f（x）與x-a=f（y+a）的圖像關于直線x-y=a成軸對稱。

定理4與定理5中的①②證明留給讀者，現證定理5中的③

設點P（x0，y0）是y=f（x）圖像上任一點，則y0=f（x0）。記點P（x，y）關于直線x-y=a的軸對稱點為P′（x1，y1），則x1=a+y0，y1=x0-a，x0=a+y1，y0=x1-a代入y0=f（x0）之中得x1-a=f（a+ y1） 點P′（x1，y1）在函數x-a=f（y+a）的圖像上。

同理可證：函數x-a = f （y + a）的圖像上任一點關于直線x-y = a的軸對稱點也在函數y = f （x）的圖像上。故定理5中的③成立。

推論：函數y=f（x）的圖像與x=f（y）的圖像關于直線x=y成軸對稱。

三、三角函數圖像的對稱性列表

注：①上表中k∈Z

②y=tan x的所有對稱中心坐標應該是（kπ+π/2，0），而在岑申、王而冶主編的浙江教育出版社出版的21世紀高中數學精編第一冊（下）及陳兆鎮主編的廣西師大出版社出版的高一數學新教案（修訂版）中都認為y=tan x的所有對稱中心坐標是（kπ，0），這明顯是錯的。

四、函數對稱性應用舉例

例1 定義在R上的非常數函數滿足：f（10+x）為偶函數，且f（5-x）=f（5+x），則f（x）一定是（ ）

A.是偶函數，也是周期函數

B.是偶函數，但不是周期函數

C.是奇函數，也是周期函數

D.是奇函數，但不是周期函數

解：f（10+x）為偶函數，f（10+x）=f（10-x）.

f（x）有兩條對稱軸 x=5與x=10 ，因此f（x）是以10為其一個周期的周期函數，x=0即y軸也是f（x）的對稱軸，因此f（x）還是一個偶函數。

故選（A）

例2 設定義域為R的函數y=f（x）、y=g（x）都有反函數，并且f（x-1）和g-1（x-2）函數的圖像關于直線y=x對稱，若g（5）=1999，那么f（4）=（ ）。

A.1999 B.2000 C.2001 D.2002

解：y=f（x-1）和y=g-1（x-2）函數的圖像關于直線y=x對稱，y=g-1（x-2） 反函數是y=f（x-1），而y=g-1（x-2）的反函數是：y=2+g（x）， f（x-1）=2+g（x）， 有f（5-1）=2+g（5）=2001。

故f（4） = 2001，應選（C）

例3 設f（x）是定義在R上的偶函數，且f（1+x）= f（1-x），當-1≤x≤0時，f（x）=-x，則f（8.6 ）= _________。

解：f（x）是定義在R上的偶函數x=0是y=f（x）對稱軸；又f（1+x）=f（1-x），x=1也是y=f（x）對稱軸。故y=f（x）是以2為周期的周期函數，f（8.6）=f（8+0.6）=f（0.6）=f（-0.6）=0.3。

例4 函數y=sin （2x+）的圖像的一條對稱軸的方程是（ ）

A.x=- B.x=-

C.x= D.x=

解：函數 y=sin（2x+）的圖像的所有對稱軸的方程是2x+=kπ+，

x=-π，顯然取k=1時的對稱軸方程是x=-故選（A）。

例5 設f（x）是定義在R上的奇函數，且f（x+2）= -f（x），當0≤x≤1時，f（x）=x，則f（7.5）=（ ）

A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5

解：y=f（x）是定義在R上的奇函數，點（0，0）是其對稱中心；